2009-05-26 03:02
Alla kvadrattal vars differens till närmast föregående kvadrattal inte är ett primtal:
Säg att n^2 kan skrivas som summa av primtal och kvadrattal. Då gäller, för något m och något primtal p:
n^2 = p + m^2
n^2 - m^2 = p
(n+m)(n-m) = p
För att p ska kunna vara ett primtal krävs då att n-m = 1. Vi ska alltså ha n = m+1. Vi får:
n^2 - m^2 = 2m + 1 = p
Men det finns oändligt många m sådana att 2m+1 inte är ett primtal. T.ex. alla tal som är på formen m = 3k+1 för k>0, ty då är 2m+1 = 3(k+1), vilket inte är ett primtal. Nu vart det klart.
Jag tar mig friheten att påstå att klockan är för mycket för att komma på ett nytt problem. Det lär komma ett imorgon. Eller så får ni gärna posta egna.
