2011-02-22 19:40
Nu känner jag att jag har en lösning, men lösningen är inte en vacker one-line lösning som jag misstänker att Dave kommer komma med.
f(f(x) + y + 1) = x + f(y) + 1. Sätter låter vi x = f(u) + u + 1 och y = -1 får vi att
f(f(f(u) + u + 1))) = f(u) + u + 1 + f(-1) + 1 och utnyttjar man första ekvationen så får vi att.
f(-1) = -1.
Från det får vi att f(f(x) -1 + 1) = f(f(x)) = x + f(-1) + 1 = x. Så f(f(x)) = x.
Låt nu y = f(0) då har vi att
f(x + f(f(0)) + 1) = f(x + 1) = f(x) + 1 + f(0).
Upprepar vi den sista likheten lite så får vi att f(x + n) = f(x) + n + nf(0).
Nu går vi tillbaka till att f(f(x) + x + 1) = f(x) + x + 1, dvs den mappar f(x) + x + 1 till sig själv, om nu f(x) + x + 1 = -1 så har vi att f(x) = -x - 2. Det löser dock inte ursprungs ekvationen. Så det måste åtminstone finnas två tal a och a + n som mappas till sig själv av f. (Notera att f(-1) = -1 här).
Vi har då att a + n = f(a + n) = f(a) + n + nf(0) = a + n + nf(0) => f(0) = 0.
Dvs f(x) = f(-1) + x + 1 + (x + 1)f(0) = -1 + x + 1 = x.
Och vi har funnit den enda lösningen som är att f(x) = x
