Jag har då försökt lösa en uppgift men fick kommentaren "måste sinx vara positivt" nej, tydligen inte drar man ju som slutsats då. Men jag förstår inte varför?
Min lösning:
ekvationen är
3cos2x = -2(sinx)^2
Man kan börja med att förenkla VL, där vi har 3 multiplicerat med formeln för "dubbla vinkeln för cos". Cos2x kan man alltså skriva om med sambandet för dubbla vinkeln.
cos2x = ((cosx)^2)-((sinx)^2)
Om man tittar på formeln för trigonometriska ettan
((cosx)^2)+((sinx)^2)=1,
kan man skriva om (cosx)^2 som 1-((sinx)^2). Vi har nu istället
cos2x = 1-((sinx)^2)-((sinx)^2) = 1-2((sinx)^2).
VL är därför
3cos2x = 3(1-2((sinx)^2)) = 3-6((sinx)^2),
och våran ekvation ser nu ut som följande
3-6((sinx)^2) = -2((sinx)^2).
Man har helt enkelt skrivit om cos2x i termer av sinx.
Vi fortsätter med att flytta över sinx till en och samma sida av ekvationen.
4((sinx)^2) = 3
(sinx)^2 = 3/4
Vi kan nu dra roten ur båda led för att få (sinx)^2 till endast sinx. Observera att sqrt((sinx)^2) enligt matematiska regler endast betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig själv blir sinx. Samma regel gäller för sqrt(3/4).
sqrt((sinx)^2) = sqrt(3/4)
sinx = sqrt(3)/2
För att lösa, den nu ganska enkla, ekvationen kan man ta till hjälp utav enhetscirkeln. Genom att markera de punkter på cirkeln som har y-koordinat sqrt(3)/2 ser man vilka lösningar det finns för x mellan 0 och 2pi.
Det finns 2 y-koordinater i enhetscirkeln med värdet sqrt(3)/2. Den ena ligger i första kvadranten och har vinkeln pi/3.
x = pi/3
Den andra lösningen är den spegelsymmetriska och ligger i andra kvadranten. Lösningen för den är
x = pi-(pi/3) = (2pi)/3
Eftersom sinx är en funktion som upprepar sig efter en vinkeländring av 2pi, kan vi konstatera att lösningarna för x är
x = (pi/3) + k2pi
samt
x = ((2pi)/3) + k2pi.
Är reklamen ivägen? Logga in eller registrera dig så försvinner den!
