Jag kommer anta att tillväxten är exponentiell med en konstant förändringsfaktor (en variabel förändringsfaktor skulle göra problemet omöjligt att finna en entydig lösning till).
Låt a = prisindex år 2000. Ett uttryck för prisindex år 2010 kan då skrivas som 1,28a (en total ökning med 28 %). Då vi vet att en konstant procentuell tillväxt (låt oss kalla den z) sker varje år kan vi teckna ekvationen
1,28a = az^10
Den kan vid första anblick verka olöslig då vi har två okända i ekvationen. Som tur är så är a en faktor i båda leden, varför den kan förkortas bort. Vi får då:
1,28a = az^10
<=>
z^10 = 1,28
Detta är binomisk tiondegradsekvation med exakt tio rötter, varav vilka två ligger i det reella talplanet.
För att lösa den binomiska ekvationen ansätter vi z = r^10(cos(10v) + isin(10v)) enligt De Moivres formel.
Om vi skriver om 1,28 på polär form får vi |1,28|(cos(0) + isin(0)) = 1,28(cos(0) + isin(0))
Alltså kan vi skriva om ekvationen z^10 = 1,28 som
r^10(cos(10v) + isin(10v)) = 1,28(cos(0) + isin(0))
Ekvivalensen ger att argumenten och beloppen måste vara lika. Vi får då:
r^10 = 1,28
10v = 0 + k2π, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
r^10 = 1,28 <=> r = 1,28^(1/10) vilket är ungefär 1,02499
10v = 0 + k2π <=> v = k2π/10
<=>
v = kπ/5
<=>
v1 = 0
v2 = π/5
v3 = 2π/5
v4 = 3π/5
v5 = 4π/5
v6 = π
v7 = 6π/5
v8 = 7π/5
v9 = 8π/5
v10 = 9π/5
Rötterna till ekvationen z^10 = 1,28 är alltså:
z1 = 1,28^(1/10)
z2 = 1,28^(1/10)e^(iπ/5)
z3 = 1,28^(1/10)e^(i2π/5)
z4 = 1,28^(1/10)e^(i3π/5)
z5 = 1,28^(1/10)e^(i4π/5)
z6 = -1,28^(1/10)
z7 = 1,28^(1/10)e^(i6π/5)
z8 = 1,28^(1/10)e^(i7π/5)
z9 = 1,28^(1/10)e^(i8π/5)
z10 = 1,28^(1/10)e^(i9π/5)
Omskrivning till rektangulär form kan göras men vad fan, jag orlar inte mer just nu. Hursomhelst så är det roten z1 du söker då ingen jävel med förståndet i behåll skulle öka ett prisindex med ett komplext antal procent.
Skriv om du har några frågor!
Tillägg av
Kae 2011-12-15 11:02
Svaret blir alltså c:a 2,499 %
Ni två har så jättefel att jag blir ledsen :(
