Var på mobilen tidigare, så jag orkade inte skriva ett jättelångt inlägg. Nu är jag dock hemma, så nu kommer en lite mer ordentlig förklaring!
Det är inte jättelätt att se att talet längst till höger i varje rad (vi kan kalla det "max-talet" ) fås av [radnummer]^2, så jag tänkte härleda detta!
Antalet tal per rad är som sagt en talföljd. För att göra det tydligt är de första 5 talen i talföljden 1, 3, 5, 7, 9. Det går rätt enkelt att se att differensen mellan varje tal är 2, och eftersom den konstant är 2 är talföljden aritmetisk.
Formeln för en aritmetisk talföljd är:
Där d alltså är 2, och a1 är 1 eftersom det första talet i talföljden är 1. Vi lämnar dock denna för stunden och kollar istället på formeln för summan av en talföljd, som ser ut så här:
Sn är alltså det tal som är längst till höger i rad n. För att få ett hum om vilken rad 401 ligger på sätter vi Sn = 401:
401 = (n * (a1 + an)) / 2
Vi vet redan att a1 är 1, så vi skriver om:
401 = (n * (1 + an)) / 2
802 = n * (1 + an) = n + n * an
Här känns det lite hopplöst, eftersom både n och an är okända, men vi kan ju faktiskt få fram en formel där n är den enda okända med hjälp av formeln för en aritmetisk talföljd! Om vi sätter in den istället för an får vi:
802 = n + n * (1 + (n-1) * 2) = n + n * (1 + 2n - 2)
802 = n + n + 2n^2 - 2n = 2n^2
401 = n^2
Roten ur 401 är undefär 20.0245, vilket är lite större än 20. Detta innebär alltså att 401 måste ligga på rad 21, eftersom exakt 20 hade varit det tal som ligger allra längst åt höger på rad 20. För att se vilken plats i raden kan vi kolla vilket tal som är "max-talet" på rad 20 kan vi använda den andra formeln igen:
S(20) = ((1 + a(20)) * 20) / 2
a(20) = 1 + (20 - 1) * 2 = 39
S(20) = ((1 + 39) * 20) / 2 = 40 * 10 = 400
Det är alltså 400 som ligger längst till höger på rad 20, vilket betyder att 401 måste ligga på plats 401 - 400 = 1 på rad 21!
Lite långt kanske, men kan väl aldrig skada att få en lite djupare inblick i talföljder. :)
