Som besökare på Hamsterpaj samtycker du till användandet av s.k. cookies för att förbättra din upplevelse hos oss. Jag förstår, ta bort denna ruta!
Annons

Problemlösning

Skapad av Dave_89, 2008-03-25 19:59 i Naturvetenskap

79 599
850 inlägg
26 poäng
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-02 23:15
0
Svar till spion [Gå till post]:
Okej.
Det finns, vad jag vet, enbart ett enkelt sätt att lösa den på.
Det finns en känd olikhet som gäller för konvexa funktioner (precis som 1/cos(x) är på det intervallet som jag har valt. Derivera och visa.)
Jensens olikhet säger iaf att om funktionen är konvex så är:
f(a1)+f(a2)+..+f(an)>= n*f((a1+a2+...+an)/n)
Lösningen därifrån är enkel.
Jensens olikhet är ofta mycket bra :)

Det trevliga är att Jensens olikhet även säger att likhet gäller om och endast då a1=a2=..=an vilket visades av en person med en ickefullständig lösning för ett tag sedan. Han visade dock inte att det var den enda likheten som gällde.

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka

Är reklamen ivägen? Logga in eller registrera dig så försvinner den!

Phelix
Visningsbild
P 36 Linköping Hjälte 97 inlägg
2008-04-03 22:39
0
Svar till Dave_89 [Gå till post]:
Ett tal i kvadrat är inte alltid positivt? -_-


Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-03 22:50
0

Svar till Phelix [Gå till post]:
Ett reellt tal i kvadrat är alltid positivt.
Handlar det om olikheter så är det i princip underförstått att det handlar om reella tal om inget annat nämns, men visst kan det nämnas för att göra saker tydligare. Vilken av alla uppgifter pratar du om?

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Phelix
Visningsbild
P 36 Linköping Hjälte 97 inlägg
2008-04-03 22:55
0

Svar till Dave_89 [Gå till post]:
I know, I know... Men jag var ändå tvungen att påpeka det, jag hoppas du kan förlåta mig. :D
Jag svarade egentligen på din förklaring av olikheter till någon annan.


Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-03 23:02
0

Svar till Phelix [Gå till post]:
Jag förlåter dig om du löser den aktuella uppgiften ;)
Den har legat där alltför länge.
Det återstår bara att visa att 1/cos(x) är en konvex funktion på intervallet och att stoppa in A,B och C i Jensens olikhet med A+B+C=pi.
Sedan kan någon posta ett nytt problem.
(HINT: Att en funktion är konvex är ekvivalent med att dess andraderivata >=0 för det angivna intervallet.
Nu är det inte mycket kvar som sagt :)

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-04 21:03
0
Okej, nej standardolikheter verkar vara lite för svårt märker jag.
Kolla in min lösning istället.
f(x)=1/cos(x)
f'(x)=sin(x)/cos^2(x)
f''(x)=(sin^2(x)+1)/cos^3(x)
Både sinus och cosinus har enbart positiva värden på intervallet 0 till pi/2 så f''(x)>=0

Vi kan alltså utnyttja Jensens olikhet med f(x)=1/cos(x)
Jensens olikhet ger att:
f(a1)+f(a2)+..+f(an)>= n*f((a1+a2+...+an)/n)
och med A,B och C:
1/cos(A)+1/cos(B)+1/cos(C)>=3*1/cos((A+B+C)/3)
men A+B+C=pi så:
1/cos(A)+1/cos(B)+1/cos(C)>=3*1/cos(pi/3)
cos(pi/3) är självklart 1/2 så vi får:
1/cos(A)+1/cos(B)+1/cos(C)>=3*1/(1/2)
1/cos(A)+1/cos(B)+1/cos(C)>=6
och olikheten är därmed visad då 0<A,B,C<pi/2

Nu får vem som helst posta ett problem!

Tillägg av Dave_89 2008-04-04 21:56

Egentligen så är även f''(x)>0 då f''(x) aldrig blir noll. Det var dock inte det som skulle undersökas.

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Shaman08
Visningsbild
P 30 Värmdö Hjälte 66 inlägg
2008-04-04 21:54
0

Svar till Dave_89 [Gå till post]:
Fan du är ju en smart jävel


Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-04 21:57
0

Svar till Shaman08 [Gå till post]:
tack :)

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
spion
Visningsbild
Göteborg Hjälte 182 inlägg
2008-04-05 19:58
0
Svar till Dave_89 [Gå till post]:
Jaha, det hade jag aldrig kommit på. Snygg lösning :)

Jag postar ett problem:
Visa identiteten
http://img255.imageshack.us/img255/4048/snapshot1qf3.png

(Det är svårt att skriva matematiska uttryck här, framförallt summatecknet.)
Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-06 00:13
0

Svar till spion [Gå till post]:
Lösningen är fin.

Ojoj det där såg inte enkelt ut.
Nu får jag någonting att bita i :)
Ska sätta mig med det imorgon.

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Sputnick
Visningsbild
P 32 Angered Hjälte 1 706 inlägg
2008-04-06 00:49
0
Eftersom denna tråd verkar populär behöver jag hjälp med ett tal...
Here it goes.
En kon har radien 10cm och top vinkeln 120 grader. Ett klot är inskrivet i konen.
a/ beräkna klotets volym
b/beräkna förhållandet mellan arean av konens mantelyta och arean av klotytan.

Cirkelns tangent bilder rät vinkel mot radien fron tangeringspunkten.

Allså radien på konen är mitten av diametern på klotet om man drar ett rakt streck uppåt.
Tack på förhand
Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-06 13:18
0
Svar till spion [Gå till post]:
Okej. Till att börja med så var det här ett riktigt jobbigt problem :)
Det gäller att:

cos(0) + cos(1) + ... + cos(N) = R[e^(0i) + e^i + ... + e^(Ni)]
Det är bara realdelen R som är intressant eftersom
e^(ai) = cos(a) + isin(a)
så därför är realdelen av summan e^(ni) från n=0 till N samma sak som summan i VL.
Vi utnyttjar sedan att:
R[e^(0i) + e^i + ... + e^(Ni)] = R[(e^(iN+i)-1) / (e^i-1)
Nu gör vi några smarta omskrivningar för att kunna utnyttja Eulers formler vilket vi behöver göra för att få in sinus och cosinus igen
R[(e^(Ni+i)-1) / (e^i-1)=
R[ e^(Ni/2+i/2) / e^(i/2) * (e^(Ni/2+i/2)-e^-(Ni/2+i/2)) / (e^(i/2)-e^-(i/2))]

Okej det ser rörigt ut, men nu kan vi på två ställen utnyttja att:
2isin(a)=e^(ai)-e^(-ai) och det ger:
R[ e^(Ni/2+i/2) / e^(i/2) * 2isin(N/2+1/2) / (2isin(1/2)
men R[e^(Ni/2+i/2) / e^(i/2)] = R[e^(Ni/2)*e^(i/2)/e^(i/2)]=R[e^(Ni/2)]

Så vi har alltså:
cos(0)+cos(1)+...+cos(N) = R[e^(Ni/2)] * sin(N/2+1/2) / sin(1/2)
Vi utnyttjar nu att R[e^(Ni/2)] = R[cos(N/2+isin(N/2)]=cos(N/2) så då gäller detta alltså att:
cos(0)+cos(1)+...+cos(N) = cos(N/2) * sin(N/2+1/2) / sin(1/2) =
cos(N/2) * (sin(N/2)cos(1/2)+sin(1/2)cos(N/2)) / sin(1/2) =
sin(N/2)cos(N/2)cos(1/2) / sin(1/2) + cos^2(N/2) =
sin(N/2)cos(N/2)cos(1/2) / sin(1/2) +1/2+cos(N)/2 =
1/2 + (2sin(N/2)cos(N/2)cos(1/2) + sin(1/2)cos(N))/(2sin(1/2)) =
1/2 + (sin(N)cos(1/2)+sin(1/2)cos(N)) / (2sin(1/2)) =
1/2 + sin(N+1/2) / (2sin(1/2)) =
1/2 + sin((2N+1)/2) / (2sin(1/2))
QED!

Förlåt mig om någon bokstav eller siffra har hamnat fel för det var fruktansvärt jobbigt att renskriva lösningen. Själva beviset håller däremot och det är det som är det viktiga :)





Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-06 13:42
0
Nytt problem:
För vilka heltal n är n^4 + 4^n ett primtal?


Tillägg av Dave_89 2008-04-07 18:36

Det här är ett svårt problem som bygger på ganska avancerad talteori.
Jag kommer nog att få lämna ut små ledtrådar, men jag uppskattar om folk iaf försöker. Det är bättre att försöka och göra fel än att inte ens försöka :)

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
spion
Visningsbild
Göteborg Hjälte 182 inlägg
2008-04-08 23:30
0
Svar till Dave_89 [Gå till post]:
Vänta lite med ledtråd, jag tänkte titta på det nu. För jämna värden på n är det ju uppenbart att hela uttrycket blir jämnt, och alltså sammansatt. Jag får klura lite på vad som händer om n är udda.
Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
spion
Visningsbild
Göteborg Hjälte 182 inlägg
2008-04-09 00:06
0
Okej, jag tror jag även har löst fallet då n är udda.
Om n är udda kan det skrivas n=2k-1 för något heltal k. Om k=1 blir uttrycket lika med 5, om k>1 blir det som i räkningarna på bilden, dvs sammansatt.

http://img237.imageshack.us/img237/738/snapshot2gn6.png

(Det hade inte gått att läsa om jag skrivit det som text i inlägget. Här borde finnas en inbyggd formeleditor.)

Tillägg av spion 2008-04-09 00:17

Det är nästan svårare att hitta på ett bra problem än att lösa ett. Jag hittar bara standardproblem i mina gamla böcker, och det är inte lätt att hitta på ett eget.

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-09 00:19
0
Svar till spion [Gå till post]:

Helt korrekt.
Det snyggaste är egentligen att utnyttja Sophie Germains identitet.
Först så är det självklart att n är naturligt och udda så för n=2k+1
får vi (2k+1)^4+4*2^(4k), vilket är sammansatt för alla naturliga tal förutom 1.

Ser fram emot ditt nästa problem Spion, det förra var ganska svårt att brottas med först, men roligt att lösa :)



Tillägg av Dave_89 2008-04-09 00:28

Haha, det kan tyckas. Det här problemet tog jag ur min problemlösningsbok, men jag brukar ta vissa problem och göra om dem lite. Någonting hittar man alltid på :)

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
spion
Visningsbild
Göteborg Hjälte 182 inlägg
2008-04-09 00:32
0
Problem:
http://img179.imageshack.us/img179/688/snapshot3hn2.png

Jag hoppas att jag har tänkt rätt med villkoren :)

Tillägg av spion 2008-04-09 00:44

Okej, jag hade tänkt fel. Nytt problem blir att hitta motbevis mot ovanstående ;)

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-09 00:58
0

Svar till spion [Gå till post]:
Jag tror att du tänkte på gcd(n,k) eller någonting i den stilen för det problemet som du har nu går att motbevisa med ett enkelt specialfall.
Tror att det är fel i fler fall än det är rätt, eller så är jag helt enkelt för trött :)
Ta ett nytt istället?

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
spion
Visningsbild
Göteborg Hjälte 182 inlägg
2008-04-09 01:07
0
Svar till Dave_89 [Gå till post]:
Okej, nu kan jag inte ha tänk fel (eller jo, det är ganska troligt).

Visa följande (egentligen behöver inte k vara positivt):
http://img296.imageshack.us/img296/9549/snapshot4hq7.png


Tillägg av spion 2008-04-09 01:08

Jag tror mig ha ett hållbart bevis för det, men det är sent på natten.

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
alexandross
Visningsbild
P Göteborg Hjälte 190 inlägg
2008-04-09 16:39
0
men finn rötterna till den här ekvationen med lösningsformel om ni kan då.

4x^3-5x^2-6x+2=0



Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-09 21:10
0

Svar till spion [Gå till post]:
Jag vet inte om jag tolkar (n,k) som du vill men jag tolkar problemet som att jag ska visa att n|nPr(n,k)*nCr(n,k)

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
spion
Visningsbild
Göteborg Hjälte 182 inlägg
2008-04-09 22:36
0
Svar till Dave_89 [Gå till post]:
Man brukar skriva största gemensamma delaren av n och k som (n,k) eller som gcd(n,k).

Hursomhelst, man ska visa att n|gcd(n,k)*nCr(n,k).

(Jag har kollat mitt bevis, och den här gången är påståendet sant.)
Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-10 17:38
0

Svar till spion [Gå till post]:

gcd(n,k) är jag bekant med.
Jag märkte att det inte kunde vara nPr(n,k) eftersom det föll direkt =)

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-12 17:06
0

Svar till spion [Gå till post]:

Hmm, jag har kollat lite på problemet.
Det där med diskret matematik är inte min starkaste sida, så jag är inte säker på att jag kan lösa uppgiften :O

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
spion
Visningsbild
Göteborg Hjälte 182 inlägg
2008-04-12 22:28
0
Svar till Dave_89 [Gå till post]:
Det är en ganska kort lösning, men rätt svår att komma på. Se om inte variablerna u=n/gcd(n,k) och v=k/gcd(n,k) kan vara till hjälp ;)

(Notera att då är gcd(u,v)=1.)
Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
spion
Visningsbild
Göteborg Hjälte 182 inlägg
2008-04-15 22:29
0
Jag postar väl en lösning på mitt problem, såvida ingen hinner protestera medan jag skriver den..

Tillägg av spion 2008-04-15 22:50

Lösning:
http://img148.imageshack.us/img148/9271/snapshot5ej0.png

Har någon annan ett kul problem kan den gärna posta det. Jag försöker hitta på ett annars.

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-15 22:55
0

Svar till spion [Gå till post]:
Bézout's identity säger att gcd(n,k)=an+bk för två heltal a och b
Så vi ska visa att n|nCr(n,k)(an+bk)=n|an*nCr(n,k)+bk*nCr(n,k)
Vilket är ekvivalent med att visa att n|bk*nCr(n,k)

Om vi utvecklar så har vi:
bk*nCr(n,k)=b*k*n*(n-1)*...*(n-k+1)/(k*(k-1)*...*1)=b*n*nCr(n-1,k-1)
och detta delar självklart n.

Sammanfattningsvis så har vi att.
gcd(n,k)*nCr(n,k)/n=a*nCr(n,k)+bnCr(n-1,k-1) för två heltal a och b och det bevisar påståendet.

Vad hade du tänkt dig för lösning?
Bézout's identity som jag fann på Wikipedia räddade mig. Det här var riktigt svårt!




Tillägg av Dave_89 2008-04-22 12:16

n delar b*n*nCr(n-1,k-1), och inte motsatsen :)

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
spion
Visningsbild
Göteborg Hjälte 182 inlägg
2008-04-15 23:09
0
Svar till Dave_89 [Gå till post]:
Snygg lösning! Min var nog mystiskare, eller?
Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-15 23:21
0
Nytt problem
Visa att om 2+2*sqrt(28n^2+1) är ett heltal, så måste det vara ett kvadrattal.
Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka
Dave_89
Visningsbild
P 35 Göteborg Hjälte 667 inlägg
Trådskapare
2008-04-15 23:22
0
Svar till spion [Gå till post]:
Din lösning var längre :)
Men nu glömmer vi alla tråkiga binomialkoefficienter och återvänder till den roliga talteorin!

Nästa problem ser svårare ut än vad det är

Direktlänk Svara på inlägg Gästbok
Skicka

Forum » Samhälle & vetenskap » Naturvetenskap » Problemlösning

Ansvariga ordningsvakter:

Användare som läser i den här tråden just nu

1 utloggad

Skriv ett nytt inlägg

Hej! Innan du skriver om ett potentiellt problem så vill vi påminna dig om att du faktiskt inte är ensam. Du är inte onormal och världen kommer inte att gå under, vi lovar! Så slappna av och gilla livet i några minuter - känns det fortfarande hemskt? Skriv gärna ner dina tankar och frågor, vi älskar att hjälpa just dig!

Den här tråden är äldre än Rojks drömtjej!

Det senaste inlägget i den här tråden skrevs för över tre månader sedan. Är du säker på att du vill återuppliva diskussionen? Har du något vettigt att tillföra eller passar din fråga i en ny tråd? Onödiga återupplivningar kommer att låsas så tänk efter en extra gång!

Rubrik

Inlägg

Fet Kursiv Spoiler Bild Film Kod Undersökning

Förhandsgranska Spara

Hjälp

Det här är en hjälpruta

Här får du korta tips och förklaringar om forumet. Välj kapitel i rullningslisten här ovanför.

Rutan uppdateras automagiskt

När du använder funktioner i forumet så visas bra tips här.


Annons
Annons
Annons
Annons