Svar till Dave_89 [
Gå till post]:
hmm asså vetefan ta vad du vill haha, var lika svårt att välja ett ämne. Derivering och integrering (matematisk analys) verkar halvnoobigt och det gjorde man ju i gymnasie. Men någon textuppgift eller något? spelar egentligen inte så stor roll vad det är :)
Okej hoppas den andra oxå gick lika bra då. Lycka till!
Har föressten oxå fått ett svar på den Svåra frågan någon ställde tidigare i denna tråd.
Kjell Elfström menar följande:
Frågan var "
Låt S vara en strikt växande talföljd. Anta också att både S_(S_n) och S_(S_n + 1) är aritmetiska talföljder. '_' betecknar subindex. Visa att S då måste vara aritmetisk!"
Svar:Vi får antaga att S är en strängt växande följd av positiva heltal. Av typografiska skäl skriver jag S(n) i stället för Sn. Eftersom S(n) är ett heltal för varje positivt heltal n och S(n) − S(n − 1) > 0, så är S(n) − S(n − 1) ≥ 1. Det följer att S(n) − S(m) = S(n) − S(n − 1) + S(n − 1) − S(n − 2) + … + S(m + 1) − S(m) ≥ n − m. Eftersom S(S(n)) är en aritmetisk följd, så gäller det att S(S(n + 1)) − S(S(n)) = d för någon konstant d. Därför är 0 ≤ S(n + 1) − S(n) ≤ S(S(n + 1)) − S(S(n)) = d, vilket visar att S(n + 1) − S(n) är uppåt och nedåt begränsad. S(n + 1) − S(n) antar därför såväl ett maximum M = S(j + 1) − S(j) som ett minimum m = S(k + 1) − S(k). Det gäller alltså att m ≤ S(n + 1) − S(n) ≤ M för alla positiva heltal n, och om vi lyckas visa att m = M, så följer det att S(n + 1) − S(n) = M för alla positiva heltal n, och vi har visat att S är aritmetisk.
Eftersom S(S(n)) är aritmetisk med differensen d, så gäller det att
S(S(S(j + 1))) − S(S(S(j))) = d(S(j + 1) − S(j)) = dM = (S(S(j + 1)) − S(S(j)))M.
Vänsterledet ∑i = S(S(j) + 1)S(S(j + 1)) (S(i) − S(i − 1)) är en summa med S(S(j + 1)) − S(S(j)) termer, som alla är mindre än eller lika med M. Därför är varje term lika med M, och vi får särskilt att S(S(S(j)) + 1) − S(S(S(j))) = M.
Eftersom S(S(n + 1)) − S(S(n) + 1) och S(S(n) + 1) − S(S(n)) båda är positiva aritmetiska följder och (S(S(n + 1)) − S(S(n) + 1)) + (S(S(n) + 1) − S(S(n))) = S(S(n + 1)) − S(S(n)) = d, så är båda dessa aritmetiska följder konstanta. Särskilt gäller det att S(S(n) + 1) − S(S(n)) är konstant.
Eftersom S(S(n) + 1) − S(S(n)) = M, då n = S(j), följer det att S(S(n) + 1) − S(S(n)) = M för alla positiva heltal n. Man visar sedan på samma sätt att S(S(n) + 1) − S(S(n)) = m för alla positiva heltal n. Av detta följer det att m = M.
Ingen status
